فرض کنید مثلث $ABC$ مانند شکل یک مثلث قائم‌الزاویه و $AH$ ارتفاع وارد بر وتر آن باشد.
(۱) نشان دهید دو زاویه از مثلث $ABC$ با دو زاویه از مثلث $AHC$ برابرند و نتیجه بگیرید: $\triangle ABC \sim \triangle AHC$
(۲) نشان دهید دو زاویه از مثلث $ABC$ با دو زاویه از مثلث $AHB$ برابر است و نتیجه بگیرید: $\triangle ABC \sim \triangle AHB$
(۳) از (۱) و (۲) دربارهٔ مثلث‌های $AHC$ و $AHB$ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
فرض: $\triangle ABC$ در $A$ قائم‌الزاویه است ($\hat{A} = 90^{\circ}$). $AH$ ارتفاع وارد بر وتر $BC$ است ($\hat{H}_1 = \hat{H}_2 = 90^{\circ}$).
## ۱. تشابه $\triangle ABC$ و $\triangle AHC$
* **زاویهٔ مشترک**: $\hat{C}$ مشترک بین $\triangle ABC$ و $\triangle AHC$ است.
* **زاویهٔ قائمه**: $\hat{BAC} = 90^{\circ}$ و $\hat{AHC} = 90^{\circ}$. پس $\hat{BAC} = \hat{AHC}$.
* **نتیجه**: چون دو زاویه برابرند، $\triangle ABC \sim \triangle H A C$ (به حالت $\text{ز ز}$).
$$\triangle ABC \sim \triangle H A C$$
## ۲. تشابه $\triangle ABC$ و $\triangle AHB$
* **زاویهٔ مشترک**: $\hat{B}$ مشترک بین $\triangle ABC$ و $\triangle AHB$ است.
* **زاویهٔ قائمه**: $\hat{BAC} = 90^{\circ}$ و $\hat{AHB} = 90^{\circ}$. پس $\hat{BAC} = \hat{AHB}$.
* **نتیجه**: چون دو زاویه برابرند، $\triangle ABC \sim \triangle H A B$ (به حالت $\text{ز ز}$).
$$\triangle ABC \sim \triangle H A B$$
## ۳. تشابه $\triangle AHC$ و $\triangle AHB$
* **نتیجه از (۱) و (۲)**: چون $\triangle ABC$ با $\triangle AHC$ متشابه است و همچنین $\triangle ABC$ با $\triangle AHB$ متشابه است، پس $\triangle AHC$ و $\triangle AHB$ نیز با یکدیگر متشابه‌اند (خاصیت تعدی در تشابه).
$$\text{نتیجه}: \triangle AHC \sim \triangle B H A$$
*(توجه: ترتیب رأس‌های متناظر در تشابه سوم: $A$ در $\triangle AHC$ متناظر $B$ در $\triangle AHB$، $H$ مشترک، و $C$ متناظر $A$.)*
از تشابه $\triangle ABC \sim \triangle A H C \Rightarrow \frac{AH}{\dots} = \frac{AC}{\dots} = \frac{HC}{\dots} \Rightarrow AC^2 = \dots \times \dots$
از تشابه $\triangle ABC \sim \triangle H A C$ (که از قسمت ۱ به دست آمد) تناسب اضلاع متناظر را می‌نویسیم:
**۱. تناسب اضلاع**:
$$\frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{HC}} = \frac{BC}{AC} = \frac{AB}{AH}$$
$$\frac{AH}{\mathbf{BC}} = \frac{AC}{\mathbf{HC}} = \frac{HC}{\mathbf{AC}} \quad \text{یا به عبارت درست‌تر (با ترتیب درست):} \quad \frac{AH}{\mathbf{AB}} = \frac{AC}{\mathbf{BC}} = \frac{HC}{\mathbf{AC}}$$
**۲. انتخاب نسبت برای $AC^2$**:
از نسبت‌های میانی استفاده می‌کنیم: $\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}$ (اضلاع روبه‌روی زوایای برابر: $\hat{B} = \hat{H A C}$)
$$AC^2 = BC \times HC \quad (\text{رابطهٔ ۴})$$
$$\frac{AH}{\mathbf{AB}} = \frac{AC}{\mathbf{BC}} = \frac{HC}{\mathbf{AC}} \Rightarrow AC^2 = \mathbf{BC} \times \mathbf{HC}$$
*(این رابطه، همان **قضیهٔ واسطه‌های هندسی** است که مربع ضلع قائم را به وتر و تصویر آن روی وتر ربط می‌دهد.)*
از تشابه $\triangle ABC \sim \triangle A H B \Rightarrow \frac{AH}{\dots} = \frac{AB}{\dots} = \frac{HB}{\dots} \Rightarrow AB^2 = \dots \times \dots$
از تشابه $\triangle ABC \sim \triangle H A B$ (که از قسمت ۲ به دست آمد) تناسب اضلاع متناظر را می‌نویسیم:
**۱. تناسب اضلاع**:
$$\frac{AB}{\mathbf{HB}} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{AH}$$
$$\frac{AH}{\mathbf{BC}} = \frac{AB}{\mathbf{AB}} = \frac{HB}{\mathbf{HB}} \quad \text{یا به عبارت درست‌تر (با ترتیب درست):} \quad \frac{AH}{\mathbf{AC}} = \frac{AB}{\mathbf{BC}} = \frac{HB}{\mathbf{AB}}$$
**۲. انتخاب نسبت برای $AB^2$**:
از نسبت‌های میانی استفاده می‌کنیم: $\frac{AB}{BC} = \frac{HB}{AB}$ (اضلاع روبه‌روی زوایای برابر: $\hat{C} = \hat{H A B}$)
$$AB^2 = BC \times HB \quad (\text{رابطهٔ ۵})$$
$$\frac{AH}{\mathbf{AC}} = \frac{AB}{\mathbf{BC}} = \frac{HB}{\mathbf{AB}} \Rightarrow AB^2 = \mathbf{BC} \times \mathbf{HB}$$
*(این رابطه، قضیهٔ واسطه‌های هندسی برای ضلع قائم $AB$ است.)*
از تشابه $\triangle A H B \sim \triangle A H C \Rightarrow \frac{AH}{\dots} = \frac{AC}{\dots} = \frac{HC}{\dots} \Rightarrow AH^2 = \dots \times \dots$
از تشابه $\triangle A H B \sim \triangle C H A$ (تشابه درست بر اساس زوایای برابر) تناسب اضلاع متناظر را می‌نویسیم.
**۱. تناسب اضلاع**:
$$\frac{AH}{CH} = \frac{HB}{HA} = \frac{AB}{CA}$$
$$\frac{AH}{\mathbf{CH}} = \frac{AC}{\mathbf{AB}} = \frac{HC}{\mathbf{AH}} \quad \text{یا به عبارت درست‌تر (با ترتیب درست):} \quad \frac{AH}{\mathbf{CH}} = \frac{HB}{\mathbf{AH}} = \frac{AB}{\mathbf{AC}}$$
**۲. انتخاب نسبت برای $AH^2$**:
از نسبت‌های اول و دوم استفاده می‌کنیم: $\frac{AH}{CH} = \frac{HB}{AH}$
$$AH^2 = HB \times CH \quad (\text{رابطهٔ ۶})$$
$$\frac{AH}{\mathbf{CH}} = \frac{HB}{\mathbf{AH}} = \frac{AB}{\mathbf{AC}} \Rightarrow AH^2 = \mathbf{HB} \times \mathbf{CH}$$
*(این رابطه، قضیهٔ واسطه‌های هندسی برای ارتفاع $AH$ است که مربع ارتفاع وارد بر وتر را به حاصل ضرب دو پاره‌خط روی وتر ربط می‌دهد.)*
با جمع طرفین روابط (۴) و (۵)، رابطهٔ فیثاغورس را برای مثلث $ABC$ نتیجه بگیرید.
$$BC^2 = \dots + \dots$$
از مراحل قبلی، روابط (۴) و (۵) را داریم:
* **رابطهٔ (۴)**: $AC^2 = BC \times HC$
* **رابطهٔ (۵)**: $AB^2 = BC \times HB$
**۱. جمع طرفین دو رابطه**:
$$AC^2 + AB^2 = (BC \times HC) + (BC \times HB)$$
**۲. فاکتورگیری**:
از $BC$ در سمت راست فاکتور می‌گیریم:
$$AC^2 + AB^2 = BC \times (HC + HB)$$
**۳. استفاده از رابطهٔ طولی وتر**:
در شکل، $HC + HB$ همان طول وتر $BC$ است:
$$HC + HB = BC$$
**۴. جایگزینی و نتیجه‌گیری**:
$$AC^2 + AB^2 = BC \times BC$$
$$AC^2 + AB^2 = BC^2$$
**نتیجهٔ قضیهٔ فیثاغورس**: $BC^2 = \mathbf{AB^2} + \mathbf{AC^2}$
*(این اثبات، یک روش اثبات قضیهٔ فیثاغورس با استفاده از تشابه مثلث‌هاست.)*
مساحت مثلث $ABC$ را به دو طریق محاسبه و با توجه به آن تساوی زیر را کامل کنید.
$$AB \times \dots = AH \times \dots$$
مثلث $\triangle ABC$ در $A$ قائم‌الزاویه است.
**۱. روش‌های محاسبهٔ مساحت**:
* **روش اول (با استفاده از اضلاع قائم)**: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$$
* **روش دوم (با استفاده از وتر و ارتفاع)**: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH$$
**۲. تشکیل تساوی**:
با مساوی قرار دادن دو عبارت مساحت:
$$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AH$$
با ضرب طرفین در $2$، تساوی زیر به دست می‌آید:
$$AB \times AC = AH \times BC$$
**۳. تکمیل تساوی داده شده**:
$$AB \times \mathbf{AC} = AH \times \mathbf{BC}$$
*(این تساوی، رابطهٔ مساحتی در مثلث قائم‌الزاویه است.)*
